爲了證明格拉姆-施密特正交化方法可以産生向量空間V的一組標准正交基，我們可以按照以下步驟進行推導：

假設V是一個有限維向量空間，並且{v1,v2,…,vn}是V中的一組線性無關的向量。

第一步，我們應用格拉姆-施密特正交化方法的第一步，將v1單位化，得到q1=∥v1∥v1。顯然，q1是單位向量，即∥q1∥=1。

第二步，對于k=2,3,…,n，我們假設已經得到了單位正交向量組{q1,q2,…,qk−1}。接下來，我們按照格拉姆-施密特正交化方法，計算vk在q1,q2,…,qk−1上的投影，並從vk中減去這個投影，得到uk=vk−∑i=1k−1⟨qi,qi⟩⟨vk,qi⟩qi。由于q1,q2,…,qk−1是正交的單位向量，所以⟨qi,qi⟩=1，因此上式可以簡化爲uk=vk−∑i=1k−1⟨vk,qi⟩qi。

第三步，由于uk是vk與q1,q2,…,qk−1所張成子空間的正交補中的向量，因此uk與q1,q2,…,qk−1正交。然後，我們將uk單位化，得到qk=∥uk∥uk。

第四步，由于q1,q2,…,qn都是單位向量，並且它們兩兩正交（這是由格拉姆-施密特正交化方法的構造保證的），因此{q1,q2,…,qn}是V的一組標准正交向量組。

第五步，由于{v1,v2,…,vn}是V的一組線性無關的向量，並且格拉姆-施密特正交化方法沒有改變這些向量的線性關系（即，如果∑i=1ncivi=0，那麽∑i=1nciqi=0），因此{q1,q2,…,qn}也是V的一組線性無關的向量。

第六步，由于{q1,q2,…,qn}是V的一組標准正交且線性無關的向量，根據向量空間的基的定義，它們構成V的一組標准正交基。

綜上，我們證明了格拉姆-施密特正交化方法可以産生向量空間V的一組標准正交基。