七道數學極限練習題及計算過程
1.計算lim(n→∞)(17n²-12)/(13n⁴+5n-24)
解:觀察所求極限特征,可知所求極限的分母此時爲2,分子的次數爲4,且分子分母沒有可約的因子,則當n趨近無窮大時,所求極限等于0。
本題計算方法爲分子分母同時除以n⁴,即:
lim(n→∞)(17n²-12)/(13n⁴+5n-24)
=lim(n→∞)(17/n-12/n⁴)/(13+5/n³-24/n⁴),
=0。
2.計算lim(n→∞)(37n-11n-38)/(4+3n-12n²)
解:思路一:觀察所求極限特征,可知所求極限的分子分母的次數相同均爲2,且分子分母沒有可約的因子,則分子分母同時除以n²,即:
lim(n→∞)(37n²-11n-38)/(4+3n-12n²)
=lim(n→∞)(37-11/n-38/n²)/(4/n+3/n-12),
=(37-0)/(0-12),
=-37/12。
思路二:本題所求極限符合洛必達法則,有:
lim(n→∞)( 37n²-11n-38)/(4+3n-12n²)
=lim(n→∞)(74n-11)/(3-24n),繼續使用羅必塔法則,
=lim(n→∞)(74-0)/(0-24),
=-37/12。
3.求極限lim(x→1)(x³-4x+3)/(x⁴-6x+5)
解:觀察極限特征,所求極限爲定點x趨近于1,又分子分母含有公因式x-1,即x=1是極限函數的可去間斷點,則:
lim(x→1)(x³-4x+3)/(x⁴-6x+5)
=lim(x→1)(x-1)(x²+x-3)/[(x-1)(x³+x²+x-5)],
=lim(x→1)(x²+x-3)/(x³+x²+x-5),
=(1+1-3)/(1+1+1-5),
=1/2。
4.求lim(x→0)(26x+4sin10x)/(6x-12sin8x)
解:思路一:本題思路主要通過重要極限公式lim(x→0)sinx/x=1應用計算而得,則:
lim(x→0)(26x+4sin10x)/(6x-12sin8x),
=lim(x→0)(26+4sin10x/x)/(6-12sin8x/x),
=lim(x→0)(26+40sin10x/10x)/(6-96sin8x/8x),
=(26+40)/(6-96),
=-11/15。
思路二:使用羅必塔法則計算有:
lim(x→0)(26x+4sin10x)/(6x-12sin8x),
=lim(x→0)(26+4*10cos10x)/(6-12*8cos8x),
=(26+4*10)/(6-12*8),
=-11/15。
5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(4x+1)。
解:本題思路是分子分母同時除以x,並變形使用重要極限公式lim(x→0)sinx/x=1,則:
lim(x→∞)(x²sin1/x)/(4x+1)
=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(4x+1)/x],
=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[4+(1/x)],
=1/{lim(x→∞)[4+(1/x)]},
=1/4。
6.求lim(x→0)(sin15x-sin71x)/sin28x.
解:思路一:對分母進行三角和差化積,再進行極限計算,有:
lim(x→0)(sin15x-sin71x)/sin28x
=lim(x→0)2cos43xsin(-28x)/sin28x,
=lim(x→0)-2cos43x,
=-2cos0=-2。
思路二:使用羅必塔法則計算有:
lim(x→0)(sin15x-sin71x)/sin28x,
=lim(x→0)(15cos15x-sin71cos71x)/(28cos28x),
=lim(x→0)(15-71)/28,
=-2。
7.求lim(x→0)(1+14x)^(2/11x)。
解:本題主要通過使用重要極限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e計算而得,則:
lim(x→0)(1+14x)^(2/11x),
=lim(x→0){[(1+14x)^(1/14x)]}^(2*14/11),
=e^(2*14/11),
=e^(28/11)。