此前發布了一道初中數學競賽題：求二元無理式的最大值！乍一看，這不就是高等數學裏面的二元函數最值問題嗎？非使用大學微積分知識求解不可！

初中數學競賽：如圖，

圖一

已知x+y=5，x、y>0,求√(x²-1)+√(y²-4)的最大值。

此題對于初中生而言，難度巨大，鐵定全軍覆沒！

即便是學了微積分初步知識的高中生，難度也不小，甚至難倒不少大學生！

先給出適合高中生和大學生的求解方法。

一、超綱解析：微積分知識！

可轉化爲一元函數最值問題或二元函數的條件極值問題！

僅就一元函數最值問題進行解析

①將y=5-x代入√(x²-1)+√(y²-4)，並令f(x)=√(x²-1)+√((x-5)²-4)。

②求f(x)關于x的導數：f'(x)=x/√(x²-1)+(x-5)/√((x-5)²-4)。令f'(x)=0，求得大于0的駐點x=5/3。

③當x=5/3，y=10/3時，√(x²-1)+√(y²-4)取得最大值爲4。

殺雞焉用牛刀？非用微積分知識求解不可？能否僅使用初中知識求解？

二、不超綱解析：數形結合，簡單直觀！

①構造兩個直角三角形ABD和BCE：AB=x，AD=1，BD=√(x²-1)，BC=y，BE=2，CE=√(y²-4)。如圖二

圖二

②延長AD和CE，相交于點F，連接AC。如圖三

圖三

③顯然AF=3，故由勾股定可得CF²+9=CF²+AF²=AC²。

④在△ABC中，AC≤AB+BC=5。

⑤由③和④可知，CF²+9≤25，故CF≤4。注意到CF=BD+CE=√(x²-1)+√(y²-4)，從而√(x²-1)+√(y²-4)≤4。

⑥由圖三可知，當A、B、C三點共線也即△ABD與△BCE相似時，√(x²-1)+√(y²-4)取到最大值4，此時x=5/3，y=10/3！

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